¤¤¤ FRACTALES ¤¤¤
••••• LE CHAOS DOMPTÉ •••••


• Que l'on remonte aux dessins primitifs tracés sur les murs des cavernes ou que l'on songe aux premiers motifs musicaux et aux débuts de l'écriture, nous pouvons constater que l'homme a toujours cherché à capter la beauté, l'essence de la nature dans toutes ses finesses et ses subtilités.

• Par la suite, dans le même but, connaître et saisir, les mathématiciens ont implanté un mode de pensée basé sur les lignes, les cercles et les polygones, la géométrie euclidienne. Cependant, dans la nature, les formes régulières sont rares, tandis que les formes irrégulières abondent.

• Ainsi, les mathématiques classiques ont échoué à saisir l'essence de somptuosités telles que les coraux, les arbres, les côtes rocheuses et l'écume. Depuis peu, l'homme, dans sa quête continuelle d'offrir des modèles plus précis de la réalité, a fait naître un nouveau concept mathématique: les fractales.

• Le mot fractale, introduit en 1975 par Benoît Mandelbrot, provient du mot latin fractus, signifiant "brisé". Les fractales peuvent se définir comme des formes géométriques de structure complexe, détaillée et irrégulière. Elles servent de modèles pour décrire des phénomènes chaotiques.

• La caractéristique fondamentale des fractales est l'autosimilitude. Ce terme signifie que, dans une figure, certains détails, de grosseurs variables, présentent une structure quasiment semblable à celle de l'ensemble de la figure.

• Les fractales se distinguent des autres formes géométriques par leurs dimensions non entières, appelées dimensions fractales . Ceci signifie qu'elles ne se trouvent pas dans les dimensions un, deux, trois ou tout autre nombre entier. Par exemple, le flocon de Von Koch a une dimension de 1,218 et le tamis de Sierpinski a, lui, une dimension de 1,58. La dimension d'une fractale nous renseigne sur le degré de rugosité ou de complexité de celle-ci.

• Plus la dimension est élevée, plus la fractale sera chaotique et irrégulière. De plus, les fractales sont les seuls objets qui possèdent une aire finie, mais un périmètre infini. Prenons l'exemple du flocon de Von Koch .

• Supposons que le périmètre de la figure de départ, un triangle équilatéral, équivaut à 9 unités. Lors de la première transformation, qui consiste à ajouter un triangle équilatéral, trois fois plus petit que la figure initial, sur chaque tiers central des côtés, le périmètre deviendra équivalent à 12 unités. Si nous continuons l'itération de cette transformation à l'infini, le périmètre augmentera progressivement (9 * 4/3 * 4/3 * 4/3 * ...) jusqu'à un périmètre infini. Par contre, l'aire restera plus au moins constante, car l'apparition des nouveaux détails, diminuant de taille continuellement, ne fera qu'augmenter faiblement l'aire du triangle initial.

• L'univers des fractales est immense. C'est pourquoi les mathématiciens ont regroupé les fractales en trois catégories : les objets fractals, les fractales naturelles et les fractales déterministes. Les objets fractals, tels que le flocon de Von Koch , le tamis de Sierpinski ou la poussière de Cantor , peuvent se définir comme des structures obtenues par l'itération d'un algorithme géométrique sur une figure. Pour construire des objets fractals, nous débutons avec un objet graphique quelconque (ligne, triangle, carré, cube, etc.). Par la suite, nous définissons une opération, ou une série d'opérations, qui ajoutera un élément de complexité à l'objet initial. Nous appliquons à l'infini, les transformations choisies à l'objet de départ. C'est la naissance d'un objet fractal.

• Lors de la formation du tamis de Sierpinski, nous débutons avec un triangle équilatéral noir. Puis, nous lui enlevons un triangle équilatéral renversé: ceci constitue la transformation géométrique qu'on répètera à l'infini. Le tamis de Sierpinski est une figure, un triangle noir, sur lequel on effectue un algorithme géométrique en enlevant des triangles renversés. C'est donc un objet fractal.

• La création de fractales peut paraître mystérieuse pour plusieurs, mais comme vous avez pu le remarquer, leur processus de construction requiert un minimum de connaissances. à présent, vous êtes même en mesure de concevoir votre propre fractale, qui ne ressemblera à aucune autre inventée auparavant !

• Choux-fleurs, arbres, nuages, éclairs électriques, montagnes, poumons, vaisseaux sanguins, voici les fractales naturelles! Ces dernières sont tous les éléments et les phénomènes de la nature qui présentent des propriétés fractales. Cette catégorie regroupe donc les fractales qui se rapprochent le plus de notre quotidien. Prenons par exemple la fougère qui possède un caractère fractal évident. Cette dernière permet de démontrer que les fractales naturelles n'ont pas une complexité infinie (ici, la complexité se termine aux plus petites feuilles des plus petites branches) et que la propriété d'autosimilitude, dans la nature, n'existe qu'avec une certaine approximation.

• Sauriez-vous déceler les fractales naturelles qui vous entourent ?

• La troisième et dernière catégorie de fractales se nomme les fractales déterministes. Les fractales déterministes regroupent certainement les plus complexes et les plus spectaculaires fractales: elles combinent la science des mathématiques et la beauté de l'art. Les exemples les plus fondamentaux sont l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia .

• Les fractales déterministes ne comprennent pas seulement les fractales obtenues par l'itération d'une équation en nombre complexe, mais aussi une autre sous-catégorie appelée ÍFS.

• En ce qui a trait aux fractales déterministes, le processus de formation est beaucoup plus ardu que celui des objets fractals. Elles sont développées par l'itération de polynômes en nombres complexes . Les ordinateurs sont indispensables à leur création. Il faut comprendre qu'il est difficile de dessiner des fractales à la main car nous sommes dans l'impossibilité de tracer tous les détails, à l'infini, avec précision. Les ordinateurs conviennent à de telles opérations et nous permettent de visualiser et de créer des fractales impressionnantes .

• Le concept de la fractale révolutionne présentement la pensée mathématique.

• Il est à présent utilisé dans plusieurs domaines tels qu'en médecine, en biologie, en physique et en finances . En informatique, on utilise les fractales pour la création d'images cinématographiques nécessitant une parfaite représentation d'éléments de la nature.

• Les fractales sont aussi les seuls modèles pouvant décrire les phénomènes chaotiques. En fait, elles sont directement issues de la théorie du chaos .

• Le chaos se caractérise par l'imprévisibilité. Or, un certain ordre semble régir ce dernier : les graphiques illustrant des comportements chaotiques sont des fractales !. Le chaos présente donc la propriété d'autosimilitude.

• De plus, les phénomènes chaotiques semblent " attirés " par la forme fractale qu'ils produisent. Alors, le chaos ne serait pas autant désordonné que nous le croyions.

• Après un bref aperçu de ce que sont les fractales, nous pouvons en conclure qu'elles se distinguent des autres domaines scientifiques. Elles font en quelque sorte un pont entre deux inconciliables: l'art, un moyen d'expression et de création fondé sur les émotions et l'imaginaire, et la science, une discipline théorique, empirique et cohérente.

• Par ailleurs, la géométrie fractale est le seul modèle qui réussit à décrire avec précision la nature. On peut donc prévoir que le concept de fractales connaîtra une évolution considérable dans l'avenir et qu'il bouleversera encore davantage la pensée mathématique. Et si les fractales réussissaient à remplacer entièrement la géométrie euclidienne?

• • • Professeur Gosub Modulo • • •




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